eksponentvienādojums
"Eksponentvienādojums" ir vienādojums, kurā nezināmais mainīgais atrodas kāpinātājā (eksponentā).
Piemēram:
\[
a^{f(x)} = b \quad \text{vai} \quad a^{f(x)} = a^{g(x)},
\]
kur \( a > 0 \), \( a \neq 1 \).
Galvenās risināšanas metodes:
1. Pārveidošana par vienādām bāzēm
Ja \( a^{f(x)} = a^{g(x)} \), tad \( f(x) = g(x) \).
Piemērs:
\[
2^{x+1} = 2^{3} \quad \Rightarrow \quad x+1 = 3 \quad \Rightarrow \quad x = 2.
\]
2. Logaritmēšana
Ja abas puses nevar reducēt uz vienādu bāzi, abas puses logaritmē.
Piemērs:
\[
3^x = 7 \quad \Rightarrow \quad x \cdot \ln 3 = \ln 7 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{\ln 7}{\ln 3}.
\]
3. Mainīgā aizvietošana
Ja vienādojums satur kvadrātu vai citu funkciju no eksponenta, ievieš jaunu mainīgo.
Piemērs:
\[
4^x - 5 \cdot 2^x + 6 = 0.
\]
Aizvieto \( t = 2^x \) (\( t > 0 \)):
\[
t^2 - 5t + 6 = 0 \quad \Rightarrow \quad t = 2 \ \text{vai} \ t = 3.
\]
Atgriežoties pie \( x \):
\[
2^x = 2 \ \Rightarrow \ x = 1; \quad 2^x = 3 \ \Rightarrow \ x = \log_2 3.
\]
Vēl piemēri:
1. \( 5^{2x-1} = 25 \)
Risinājums: \( 25 = 5^2 \), tātad \( 5^{2x-1} = 5^2 \)
\( 2x-1 = 2 \ \Rightarrow \ x = 1.5 \).
2. \( e^{x} = 10 \)
Risinājums: \( x = \ln 10 \).
3. \( 9^x - 8 \cdot 3^x - 9 = 0 \)
Risinājums: \( (3^x)^2 - 8 \cdot 3^x - 9 = 0 \)
Aizvieto \( t = 3^x \): \( t^2 - 8t - 9 = 0 \)
\( t = 9 \) vai \( t = -1 \) (otrais neder, jo \( 3^x > 0 \))
\( 3^x = 9 \ \Rightarrow \ x = 2 \).
Jūsų pataisymai bus išsiųsti moderatorių peržiūrai, jei informacija tikslesnė/taisyklingesnė
ji bus patalpinta vietoj esamos.